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España logra 5 medallas en la Olimpiada Matemática Internacional de 2023

Nicolás Atanes Santos
Nicolás Atanes Santos
Joven estudiante apasionado por “las mates”. Creador del blog “Raíz de Mate"
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análisis

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Una plata, cuatro bronces y una mención de honor, esos fueron los resultados de España en la Olimpiada Matemática Internacional que se ha celebrado en Chiba, Japón del 2 al 13 de julio de 2023. Participaron 618 concursantes, 67 de ellas mujeres, y 112 países. 

Los resultados sitúan a España en el puesto 35 de la clasificación absoluta del mundo, 7 por encima de 2022, cuando quedó en el puesto 42, y muy cerca del puesto de 2020, donde quedamos 31, cuando el país obtuvo los mejores resultados de su historia.

España no tiene medallas de oro, 8 medallas de plata, 64 medallas de bronce y 62 menciones de honor. España se quedó a un punto de que el concursante Rubén Carpenter, de Barcelona, lograra la Medalla de oro en la Olimpiada, consiguiendo 31 puntos y necesitando 32 para lograr una de las 54 medallas de oro, ya que el turco Mehmet Can Baştemir logró la última Medalla de oro, con esos puntos.

Rubén logró 7 puntos en los problemas 1, 2, 4, 5, 3 puntos en el problema 3 y ningún punto en el problema 4. Por encima del puesto 55 de Rubén, se encuentran el alemán Juri Kaganskiy, que logró 7 puntos en los 4 primeros problemas y 3 puntos en el quinto (el tercer problema es más valioso y complicado que el segundo, y el segundo que el primero), el austríaco Martin Biermauer, con la misma puntuación que Rubén, los canadienses Marvin Mao (con la misma puntuación) y Ming Yang, con los problemas 1, 2, 4 y 5 en puntuación máxima de 7 puntos y los otros tres puntos distribuidos con 2 puntos en el problema 6 y 1 punto en el tercer problema. 

La delegación estuvo dirigida por la matemática de la Complutense María Gaspar, y como tutor, Marc Felipe.

El concursante Darío Martínez quedó en la posición 183, segundo de España, con puntuaciones 7, 1, 0, 7, 7, 1 en los problemas 1–6 respectivamente, Jordi Ferré logró 7, 4, 0, 7, 3, 0 puntos respectivamente, quedando en la posición 237, igual de posición que el catalán Roger Lidón, con 3, 4, 0, 7, 7, 0 puntos respectivamente, Guillem Beltran obtuvo 7, 1, 1, 7, 2, 0 puntos respectivamente, quedando en la posición 297, y Xavier Díaz, quedando en la posición 315 con puntos en los problemas 7, 7, 0, 1, 2, 0 respectivamente. 

Los participantes en la Olimpiada Matemática Internacional de España se clasificaron en la Olimpiada Matemática Española que se organizó en León, entre los días 9-12 de marzo de 2023. Cabe destacar que este es el primer año de Rubén en la Internacional, que legalmente podría haber participado como mínimo el año anterior, tras quedar entre los seis primeros puestos en la Española en años anteriores, no pudiendo participar por problemas de nacionalidad y personales.

El primer problema consistía en determinar todos los números enteros compuestos mayores que 1 que satisfacen la siguiente propiedad de que si tenemos los k divisores positivos del número donde cada divisor se ordena de menor a mayor, con el más pequeño el 1 y el más grande el propio número, entonces el divisor en la posición i divide al divisor en la posición i+1 sumado al divisor que ocupa la posición i+2, para cada i entre 1 y k − 2. En este problema, hubo 474 puntuaciones perfectas, con una media de puntuación de 5,845.

El segundo problema decía que dado el triángulo acutángulo ABC, los tres ángulos interiores son menores de 90 grados, donde AB (lado del triángulo que empieza en A y acaba en B) es menor que AC, considerar el circuncírculo Ω de ABC, que es el círculo que pasa por los tres vértices del triángulo,  Ahora, en el circuncírculo Ω, tomamos el punto medio S del arco CB que contiene a A, esto quiere decir que hay dos semiarcos, «por debajo» y «por encima», uno contiene a A y otro no. Nos interesa el que contiene a A. Este punto divide el arco CB en dos partes iguales. A continuación, trazamos una línea perpendicular desde A hasta el lado del triángulo BC (la línea es perpendicular a BC). Intersecta el segmento BS en un punto D y vuelve a intersectar el circuncírculo Ω en otro punto E (distinto de A). Ahora, trazamos una línea paralela a BC desde D, que intersecta la línea BE en un punto L. Consideremos ahora la circunferencia que pasa por todos los vértices de un polígono y contiene completamente a dicha figura en su interior, el centro es el punto donde se cortan las mediatrices de los lados, el circuncírculo del triángulo BDL, al que llamaremos ω. Esta circunferencia ω y el circuncírculo Ω se intersectan nuevamente en un punto P (diferente de B, porque también intersectará en B, pues el otro). La afirmación que debemos demostrar es que la recta tangente a ω en el punto P intersecta la recta BS en un punto que se encuentra en la bisectriz interior del ángulo BAC. Este problema lo hicieron 215 personas perfectamente, con una puntuación media de 3,162. 

El tercer problema decía que para cada número entero k mayor o igual a 2, estamos buscando todas las sucesiones infinitas de enteros positivos a1, a2, a3, etcétera, que satisfacen la condición de que existe un polinomio P de la forma 

P(x) = x^k + ck-1x^k-1 + … + c1x + c0,

donde c0, c1, …, ck-1 son enteros no negativos, tal que 

P(an) = an+1 × an+2 × … × an+k

para cualquier entero n mayor o igual a 1. En otras palabras, estamos buscando sucesiones infinitas de enteros positivos que cumplen la propiedad de que, al evaluar un elemento a_n en el polinomio P, obtendremos el producto de los siguientes k términos de la sucesión. Este problema lo hicieron correctamente 73 personas, con una puntuación media de 1,256 puntos.

El cuarto problema decía que sea x1, x2, . . . , x2023 números reales positivos, todos distintos entre sí, tales que an es la raíz cuadrada de 

(x1 + x2 + … + xn)×(1/x1 + 1/x2 + … + 1/xn)

es entera para todo n = 1, 2, …, 2023. Demostrar que a2023 ⩾ 3034. Este problema lo hicieron correctamente 384 personas, con una puntuación media de 4,717 puntos.

El quinto problema decía que dado un entero positivo n, consideremos un triángulo japonés que consiste en 1 + 2 + … + n círculos, dispuestos en forma de un triángulo equilátero. En este triángulo, para cada fila i, que va desde 1 hasta n, se tienen i círculos (como una torre bidimensional de esferas), de los cuales exactamente uno está pintado de rojo. Un «camino ninja» en un triángulo japonés es una secuencia de n círculos que comienza en el círculo de la fila superior y termina en la fila inferior. En cada paso del camino, se pasa de un círculo a uno de los dos círculos inmediatamente debajo de él.

La tarea es determinar el valor más grande de k, en términos de n (para cada tamaño), tal que cada triángulo japonés tiene al menos un camino ninja que contiene al menos k círculos rojos. Este problema lo hicieron correctamente 118 personas, con una puntuación media de 2,417 puntos.

El sexto problema decía que dado un triángulo equilátero ABC, consideremos los puntos interiores A1, B1 y C1 de ABC que cumplen las siguientes condiciones: 

BA1 = A1C, CB1 = B1A, AC1 = C1B,

∠BA1C + ∠CB1A + ∠AC1B = 480º.

donde BA1 es la distancia de B a A1, y ∠BA1C representa el ángulo formado por los segmentos BA1 y A1C. El vértice del ángulo es el punto A1, y los segmentos van de A1 a B y C. Ahora definimos,

A2 como la intersección de las rectas BC1 y CB1, 

B2 como la intersección de las rectas CA1 y AC1,

C2 como la intersección de las rectas AB1 y BA1.

La afirmación que debemos demostrar es si el triángulo A1B1C1 es escaleno, es decir, sus tres lados tienen longitudes distintas, entonces los circuncírculos de los triángulos AA1A2, BB1B2 y CC1C2 tienen dos puntos en común.

En otras palabras, debemos demostrar que si A1B1C1 es un triángulo escaleno, entonces los circuncírculos de los triángulos AA1A2, BB1B2 y CC1C2 tienen al menos dos puntos en común.

Este problema lo hicieron correctamente 6 personas, con una puntuación media de 0,275 puntos.

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